计算抛物线y=3x-x2与x轴围成的图形绕x=-1旋转一周所成的旋转体的体积．

admin2022-06-04 3

问题计算抛物线y=3x-x²与x轴围成的图形绕x=-1旋转一周所成的旋转体的体积．

选项

答案[*] 如图2-3-1(A)所示．取x为积分变量，它的变化区间为[0，3]．在[0，3]上任取一个小区间[x，x+dx]，相应小曲边梯形绕x=-1旋转一周而成的旋转体为一个圆筒，其桶壁厚度为dx，内半径为x+1，外半径为(x+1)+dx，而它的体积近似于棱长分别为2π(1+x)，h，dx的长方体的体积(图2-3-1(B))，即体积微元 dV=2π(1+x)hdx=2π(1+x)(3x-x²)dx 于是，所求旋转体的体积为 V=∫₀³2π(x+1)(3x-x²)dx=2π∫₀³(2x²+3x-x³)dx [*]

解析

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