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  3. 设f(x)是[a，b]上的连续函数，且对于满足∫abg(x)dx=0的任意连续函数g(x)，都有∫abf(x)g(x)dx=0,证明存在ξ∈[a，b]使得f(x)=f(ξ)恒成立。

设f(x)是[a，b]上的连续函数，且对于满足∫abg(x)dx=0的任意连续函数g(x)，都有∫abf(x)g(x)dx=0,证明存在ξ∈[a，b]使得f(x)=f(ξ)恒成立。

admin2022-08-05  11
问题 设f(x)是[a，b]上的连续函数，且对于满足∫abg(x)dx=0的任意连续函数g(x)，都有∫abf(x)g(x)dx=0,证明存在ξ∈[a，b]使得f(x)=f(ξ)恒成立。
选项
答案f(x)在闭区间[a，b]上连续，根据定积分中值定理知，存在ξ∈[a，b]使得，∫abf(x)dx=(b-a)f(ξ)=∫abf(ξ)dx，进而有∫ab[f(x)-f(ξ)]dx=0。 取g0(x)=f(x)-f(ξ)，则∫abg0(x)dx=0，∫abf(ξ)g0(x)dx=0①。由已知可得，∫abf(x)g0(x)dx=0②。 ②-①得∫ab[f(x)-f(ξ)]g0(x)dx=0，即∫abg02(x)dx=0，解得g0(x)=0，进一步得f(x)=f(ξ)，结论得证。
解析
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