(1)设A，B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵． (2)设A，B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA．

admin2020-11-12 4

问题 (1)设A，B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B^TAB也是对称矩阵．
(2)设A，B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA．

选项

答案(1)因为A是对称矩阵，所以A^T=A．所以(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB． (2)充分性([*])：因为A，B是对称矩阵，所以A^T=A，B^T=B．而AB-BA，所以(AB)^T=B^TA^T=BA=AB，所以AB是对称矩阵．必要性([*])：由于A，B，AB是对称矩阵，所以A^T=A，B^T=B，(AB)^T=AB，所以 AB=(AB)^T=B^TA^T=BA．

解析

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考研数学一

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