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  3. 已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0．

已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0．

admin2018-10-10  1
问题 已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0．
选项
答案假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨设a≤0，下面分a=0和a<0两种情况讨论．如果a=0，则abc=0，与abc＞0矛盾，所以a=0不可能．如果a<0，那么由abc＞0可得bc<0．又因为a+b+c>0；所以b+c＞一a＞0，于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0，这和已知ab+bc+ca＞0相矛盾，因此a<0也不可能，综上所述，a＞0，同理可证：b＞0，c＞0．所以原命题成立．
解析
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