设f(x)在[a,+∞)上连续,且f(x)存在.证明:f(x)在[a,+∞)上有界.

admin2018-05-21  6

问题 设f(x)在[a,+∞)上连续,且f(x)存在.证明:f(x)在[a,+∞)上有界.

选项

答案设[*]f(x)=A,取ε0=1,根据极限的定义,存在X0>0,当x>X0时, |f(x)-A|<1, 从而有 |f(x)|<|A|+1. 又因为f(x)在[a,X0]上连续,根据闭区间上连续函数有界的性质, 存在k>0,当x∈[a,X0],有|f(x)|≤k. 取M=max{|A|+1,k},对一切的x∈[a,+∞),有|f(x)|<M.

解析
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