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设f(x)=(akcoskx+bksinkx),其中ak,bk(k=1,2,…,n)为常数.证明: (Ⅰ)f(x)在[0,2π)必有两个相异的零点; (Ⅱ)f(m)(x)在[0,2π)也必有两个相异的零点.
设f(x)=(akcoskx+bksinkx),其中ak,bk(k=1,2,…,n)为常数.证明: (Ⅰ)f(x)在[0,2π)必有两个相异的零点; (Ⅱ)f(m)(x)在[0,2π)也必有两个相异的零点.
admin
2021-11-15
12
问题
设f(x)=
(a
k
coskx+b
k
sinkx),其中a
k
,b
k
(k=1,2,…,n)为常数.证明:
(Ⅰ)f(x)在[0,2π)必有两个相异的零点;
(Ⅱ)f
(m)
(x)在[0,2π)也必有两个相异的零点.
选项
答案
(Ⅰ)令F(x)=[*]a
k
sinkx-[*]coskx).显然,F′(x)=f(x).由于F(x)以2π为周期且F(0)=F(2π),故F(x)在[0,2π]上连续,从而必有最大值与最小值.设F(x)分别在x
1
,x
2
达到最大值与最小值,且x
1
≠x
2
,x
1
,x
2
∈[0,2π),则F(x
1
),F(x
2
)也是F(x)在(-∞,+∞)上的最大值,最小值,因此x
1
,x
2
必是极值点.又F(x)可导,由费马定理知F′(x
1
)=f(x
1
)=0,F′(x
2
)=f(x
2
)=0. (Ⅱ)f
(m)
(x)同样为(Ⅰ)中类型的函数即可写成f
(m)
(x)=[*](α
k
coskx+β
k
sinkx),其中α
k
,β
k
(k=1,2,…,n)为常数,利用(Ⅰ)的结论,f
(m)
(x)在[0,2π)必有两个相异的零点.
解析
即证:f(x)=[
a
k
sinkx-
b
k
coskx)]′在[0,2π)存在两个相异零点.只要证
F(x)=
a
k
sinkx-
b
k
coskx)
在[0,2π)有两个极值点.注意:F(x)是周期为2π的周期函数,F(x)在[0,2π)的最大与最小值点也是F(x)在(-∞,+∞)上的最大与最小值点,因而必是极值点.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SWl4777K
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考研数学一
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