2. 考研
  3. 设曲线y=y(x)(x＞0)经过点(1，2)。该曲线上任意一点P(x，y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距． 求y=y(x).

设曲线y=y(x)(x＞0)经过点(1，2)。该曲线上任意一点P(x，y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距． 求y=y(x).

admin2023-03-16  14
问题 设曲线y=y(x)(x＞0)经过点(1，2)。该曲线上任意一点P(x，y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距．
求y=y(x).
选项
答案曲线y(x)在点(x，y)处的切线方程为Y-y=y′(x)(X-x)，于是切线在y轴上的截距为y-y′(x)x，由题意可知x=y—y′x，即[*]=—1，此为一阶线性微分方程，根据通解公式可得 y=[*]=Cx—xlnx，其中C为任意常数． 将y(1)=2代入上式得C=2，即y=x(2-lnx)．
解析
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考研数学一

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