设a1＞1，又an＋1＝1+1na． (Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解； (Ⅱ)存在，并求此极限．

admin2021-03-10 110

问题设a₁＞1，又a_n＋1＝1+1na．
(Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解；
(Ⅱ)

存在，并求此极限．

选项

答案(Ⅰ)令f(x)＝x－1－lnx(x＞0)，由f’(x)＝[*]得x＝1，当0＜x＜1时，f’(x)＜0；当x＞1时，f’(x)＞0，则x＝1为f(x)在(0，＋∞)内的最小值点，最小值为m＝f(1)＝0，故方程x＝1＋lnx只有唯一解x＝1． (Ⅱ)已知a₁＞1，设a_k1，则a_k＋1＝1＋lna_k＞1，由数学归纳法，对任意的n，有a_n＞1；由拉格朗日中值定理得 lna_n＝lna_n－lnl＝[*]＜a_n－1，其中1＜ξ＜a_n，于是a_n＋1＝1＋lna_n＜1＋a_n－1＝a_n，即数列{a_n}单调递减，故极限[*]存在．令[*]由a_n＋1＝1＋1na_n得A＝1＋lnA，解得A＝1．

解析

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考研数学二

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设a1＞1，又an＋1＝1+1na． (Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解； (Ⅱ)存在，并求此极限．

考研数学二

(2003年)设位于第一象限的曲线y＝f(χ)过点，其上任一点P(χ，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被χ轴平分．(1)求曲线y＝f(χ)的方程；(2)已知曲线y＝sinχ在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y＝f(χ)的弧

设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值。并讨论A是否可相似对角化。

[*]

微分方程的通解____________包含了所有的解．

设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=_______．

设f(x)在(－∞，+∞)上连续，下述命题①若对任意a，f(x)dx=0，则f(x)必是奇函数；②若对任意a，f(x)dx=2f(x)dx，则f(x)必是偶函数；③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)=f(t)dt也具有周期T正确的个数是

设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f’’(x)＞g’’(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．

下列二次型中是正定二次型的是()

设f(x)为连续函数，证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=4f(sinx)dx．

设f(x)，f’(x)为已知的连续函数，则方程y’+f’(x)y=f(x)f’(x)的通解是()

I’msorry,butIhaveaquestionto______you.

可用于阴血不足，虚热扰心之心烦失眠的方剂是

下列哪项是恶阻肝胃不和的主要表现

A．柴胡疏肝散B．半夏厚朴汤C．丹栀逍遥散D．滋水清肝饮E．甘麦大枣汤治疗心神惑乱型郁证的代表方是

A．以阻塞性通气障碍为主B．以限制性通气障碍为主C．混合性通气功能障碍D．以弥漫性通气障碍为主E．以呼吸中枢功能障碍为主自发性气胸的临床特征是

为使药材色泽洁白，防止霉烂，常在干燥前后较大的根及根茎，坚硬的藤、木类和肉质的果实为便于干燥通常干燥前要

心墙坝或斜墙坝铺筑时应向上游倾斜()的坡度，均质坝应使中部凸起，向上、下游倾斜1％～2％的坡度。

计算机中，中央处理器CPU由和___两部分组成。

设a1＞1，又an＋1＝1+1na． (Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解； (Ⅱ)存在，并求此极限．

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设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值。并讨论A是否可相似对角化。

[*]

微分方程的通解____________包含了所有的解．

设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=_______．

设f(x)在(－∞，+∞)上连续，下述命题①若对任意a，f(x)dx=0，则f(x)必是奇函数；②若对任意a，f(x)dx=2f(x)dx，则f(x)必是偶函数；③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)=f(t)dt也具有周期T正确的个数是

设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f’’(x)＞g’’(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．

下列二次型中是正定二次型的是()

设f(x)为连续函数，证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=4f(sinx)dx．

设f(x)，f’(x)为已知的连续函数，则方程y’+f’(x)y=f(x)f’(x)的通解是()

I’msorry,butIhaveaquestionto______you.

可用于阴血不足，虚热扰心之心烦失眠的方剂是

下列哪项是恶阻肝胃不和的主要表现

A．柴胡疏肝散B．半夏厚朴汤C．丹栀逍遥散D．滋水清肝饮E．甘麦大枣汤治疗心神惑乱型郁证的代表方是

A．以阻塞性通气障碍为主B．以限制性通气障碍为主C．混合性通气功能障碍D．以弥漫性通气障碍为主E．以呼吸中枢功能障碍为主自发性气胸的临床特征是

为使药材色泽洁白，防止霉烂，常在干燥前后较大的根及根茎，坚硬的藤、木类和肉质的果实为便于干燥通常干燥前要

心墙坝或斜墙坝铺筑时应向上游倾斜()的坡度，均质坝应使中部凸起，向上、下游倾斜1％～2％的坡度。

计算机中，中央处理器CPU由________和___________两部分组成。

计算机中，中央处理器CPU由和___两部分组成。