2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

admin2016-01-22  36
问题 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0．
选项
答案将欲证结论中的ξ换成x得(2x+1)f(x)+xf’(x)=0，即 [*] 上式两端求不定积分得ln|f(x)|=一2x一ln|x|+ln|c|，即c=xe2xf(x)，故可构造辅助函数F(x)=ze2xf(x)，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=0，F(1)=e2f(1)=0， 所以F(x)在闭区间[0，1]上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0， 故(2ξ+1)f(ξ)+ξ
解析
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考研数学一

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