求微分方程满足条件y｜x=0 =0，y’｜x=0 =0且在x=处可导的特解．

admin2021-08-05 77

问题求微分方程

满足条件y｜_x=0 =0，y’｜_x=0 =0且在x=

处可导的特解．

选项

答案先求解当x≤π/2时的初值问题[*] 易知，方程y”+y=x的通解为y=C₁cosx+C₂sinx+x．根据条件y(0)=y’(0)=可解得C₁=0，C₂=一1，所以相应的特解为 [*] 此时，有[*] 进一步，当x＞π/2时，欲使所求的解在x=π/2处可导(因而必连续)，这就归结为求解新的初值问题[*] 易知，方程y”+4y=0的通解为y=C₃cos2x+C₄sin 2x．再由初值条件[*] 可解得C₃=1=π/2，C₄=一1/2．所以相应的特解为 [*] 因此，原方程满足所给条件的特解为 [*] 可以验证所求函数y在x=π/2处可导．

解析

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