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  3. 设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=_____

设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=_____

admin2016-07-22  75
问题 设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=_____
选项
答案na
解析 令x=-1，则f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)-f(-1)=2f(1)=2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)-3f(1)=3a，现用数学归纳法证明
    f(n)=na．
    当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n=k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k-1)+f(2)=(k-1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=m，令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=-f(-n)=-(-m)=m．所以对一切整数n，均有f(n)=na．
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