2. 考研
  3. 设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交，又(β1，β2)＝3， (Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关； (Ⅱ)令B＝β1β2T，求｜B＋2E｜．

设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交，又(β1，β2)＝3， (Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关； (Ⅱ)令B＝β1β2T，求｜B＋2E｜．

admin2021-03-16  71
问题 设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交，又(β1，β2)＝3，
(Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关；
(Ⅱ)令B＝β1β2T，求｜B＋2E｜．
选项
答案(Ⅰ)令k1α1＋k2α2＋k3β1＝0， 由α1，α2与β1正交及(k1α1＋k2α2＋k3β1，β1)＝0得k3(β1，β1)＝0， 再由β1为非零向量得(β1，β1)＝｜β1｜2＞0，从而k3＝0， 于是k1α1＋k2α2＝0， 再由α1，α2线性无关得k1＝k2＝0，故α1，α2，β1线性无关． 令A＝[*]，则r(A)＝2＜3，齐次线性方程组AX＝0含一个线性无关的解向量， 由Aβ1＝0，Aβ2＝0得β1，β2为AX＝0的两个非零解，故β1，β1线性相关． (Ⅱ)由B2＝3B得B的特征值为0和3， 因为λ1＋λ2＋λ3＝tr(B)＝(β1，β2)＝3，所以B的特征值为0，0，3， 从而B＋2E特征值为2，2，5， 故｜B＋2E｜＝20．
解析
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考研数学二

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