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设α1,α2为三维线性无关的列向量组,β1,β2为三维列向量组且都与α1,α2正交,又(β1,β2)=3, (Ⅰ)证明:α1,α2,β1线性无关,但β1,β2线性相关; (Ⅱ)令B=β1β2T,求|B+2E|.
设α1,α2为三维线性无关的列向量组,β1,β2为三维列向量组且都与α1,α2正交,又(β1,β2)=3, (Ⅰ)证明:α1,α2,β1线性无关,但β1,β2线性相关; (Ⅱ)令B=β1β2T,求|B+2E|.
admin
2021-03-16
106
问题
设α
1
,α
2
为三维线性无关的列向量组,β
1
,β
2
为三维列向量组且都与α
1
,α
2
正交,又(β
1
,β
2
)=3,
(Ⅰ)证明:α
1
,α
2
,β
1
线性无关,但β
1
,β
2
线性相关;
(Ⅱ)令B=β
1
β
2
T
,求|B+2E|.
选项
答案
(Ⅰ)令k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
β
1
=0, 由α
1
,α
2
与β
1
正交及(k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
β
1
,β
1
)=0得k
3
(β
1
,β
1
)=0, 再由β
1
为非零向量得(β
1
,β
1
)=|β
1
|
2
>0,从而k
3
=0, 于是k
1
α
1
+k
2
α
2
=0, 再由α
1
,α
2
线性无关得k
1
=k
2
=0,故α
1
,α
2
,β
1
线性无关. 令A=[*],则r(A)=2<3,齐次线性方程组AX=0含一个线性无关的解向量, 由Aβ
1
=0,Aβ
2
=0得β
1
,β
2
为AX=0的两个非零解,故β
1
,β
1
线性相关. (Ⅱ)由B
2
=3B得B的特征值为0和3, 因为λ
1
+λ
2
+λ
3
=tr(B)=(β
1
,β
2
)=3,所以B的特征值为0,0,3, 从而B+2E特征值为2,2,5, 故|B+2E|=20.
解析
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考研数学二
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