f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt的单调性为[ ]．

admin2016-03-01 64

问题 f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则F(x)=∫₀^x(x²一t²)f(t)dt的单调性为[ ]．

选项 A、在(一∞，+∞)上单调增加
B、在(一∞，+∞)上单调减少
C、在(一∞，0)上单调增加，在(0，+∞)上单调减少
D、在(一∞，0)上单调减少，在(0，+∞)上单调增加

答案A

解析 F(x)=x²∫₀^xf(t)dt—∫₀^xt²f(t)dt，
F’(x)=2x∫₀^xf(t)dt+x²f(x)一x²f(x)=2x∫₀^xf(t)dt．
因f(x)＞0，当x＜0时，∫₀^xf(t)dt=一∫_x⁰f(t)dt＜0，所以
x∫₀^xf(t)dt＞0．
当x＞0时，∫₀^xf(t)dt＞0，所以，x∫₀^xf(t)dt＞0．因此在(一∞，+∞)上F’(x)≥0．从而F(x)在(一∞，+∞)上是单调增加的．
故选(A)．

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