2. 考研
  3. (Ⅰ)设f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (Ⅱ)设A＝，求可逆矩阵D，使A＝DTD．

(Ⅰ)设f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (Ⅱ)设A＝，求可逆矩阵D，使A＝DTD．

admin2020-01-15  110
问题 (Ⅰ)设f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵；
(Ⅱ)设A＝，求可逆矩阵D，使A＝DTD．
选项
答案(Ⅰ)将f(x1，x2，x3)用配方法化为标准形，得 f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3＝(x1－x2＋x3)2＋x22＋5x32－4x2x3 ＝(x1－x2＋x3)2＋(x2－2x3)2＋x32． [*] 得f的标准形为 f(x1，x2，x3)＝y12＋y23＋y32；． 所作的可逆线性变换为x＝Cy，其中C＝[*]． 二次型的规范形为y12＋y22＋y32，正惯性指数p＝3＝r(A)，故知对应矩阵A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明)． (Ⅱ)法一 由题设知，A＝[*] 是f(x1，x2，x3)的对应矩阵，即f(x1，x2，x3)＝xTAX． 令x＝Cy，其中C＝[*]，得f＝xTAX＝yTCTCy＝yTEy，故CTAC＝E，A＝(C－1)TC－1＝DTD，其中D＝C－1． [*] 法二 由(Ⅰ)知，f(x1，x2，x3)＝(x1－x2＋x3)2＋(x2－2x3)2＋x32； ＝(x1－x2＋x3，x2－2x3，x3) [*]
解析
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考研数学一

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