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若函数f(x,y)对任意正实数t,满足 f(tx,ty)=tn(x,y), (*) 称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数 (**)
若函数f(x,y)对任意正实数t,满足 f(tx,ty)=tn(x,y), (*) 称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数 (**)
admin
2019-07-19
30
问题
若函数f(x,y)对任意正实数t,满足
f(tx,ty)=t
n
(x,y), (*)
称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数
(**)
选项
答案
设f(x,y)是n次齐次函数,按定义,得 f(tx,ty)=t
n
f(x,y)([*]t>0)为恒等式.将该式两端对t求导,得 [*] 令t=1,则x[*](x,y)=nf(x,y). 现设上式成立.考察φ(t)=[*]t>0),由复合函数求导法则可得 [*] 即φ(t)为常数,φ(t)=φ(1)=f(x,y),即f(tx,ty)=t
n
f(x,y).
解析
将题设等式(*)对t求导,由(*)可导出题设等式(**).而由(**)导出(*),即证
对t>0为常数,亦即证
=0,其中关键是应用复合函数求导法则.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1Nc4777K
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考研数学一
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