设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

admin2018-12-29 32

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，所以r(B^TAB)=n，又因为r(B^TAB)≤r(B)≤n，所以r(B)=n。充分性：因(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)＞0。于是当x≠0，有x^T(B^TAB)x= (Bx)^TA(Bx)＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1RM4777K

考研数学一

相关试题推荐

函数在点A(1，0，1)处沿点A指向点B(3，一2，2)方向的方向导数为______．
已知f(x)连续，且x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt=2x3(x－1)，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值．
设空间区域Ω由曲面z=a2一x2一y2与平面z=0所围成，其中a为正常数．记Ω表面的外侧为∑，Ω的体积为V，证明：x2yz2dydz—xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=V．
设函数z=f(u)由方程u=φ(u)+∫xyp(x+y－t)dt所确定，u是变量x、y的函数，其中函数f(u)、φ(u)可微，而函数p(t)、φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求
假设随机变量X和Y的联合概率密度为求X和Y的联合分布函数F(x，y)；
已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα－2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．
二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3—2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．
假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求：(I)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率；(Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．
设n为正整数，f(x)＝xn＋x一1．证明：对于给定的n，f(x)在(0，＋∞)内存在唯一的零点xn；
直线L1：的夹角为____________．

随机试题

当地震发生时，如果游客身处室内，下面选项操作正确的是()。
Entireculturesoperateonelaboratesystemsofindirectness.Forexample,itisdiscoveredinasmallresearchprojectthatmor
A．大肠埃希菌O14B．溶血性链球菌C．变形杆菌OX19D．大肠埃希菌O86E．肺炎球菌14型与人心肌组织具有共同抗原的是
下列核苷酸不是RNA组分的是
光传送网(OTN)的特点包括()。
金融市场最主要的交易机制是价格机制。()
企业下列(　　　)事项的变更必须经企业登记机关登记。
下列为我国古代常用的传统纪年方式的是()。
A、 B、 C、 D、 A
下列叙述中正确的是()。

最新回复(0)

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

考研数学一

函数在点A(1，0，1)处沿点A指向点B(3，一2，2)方向的方向导数为______．

已知f(x)连续，且x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt=2x3(x－1)，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值．

设空间区域Ω由曲面z=a2一x2一y2与平面z=0所围成，其中a为正常数．记Ω表面的外侧为∑，Ω的体积为V，证明：x2yz2dydz—xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=V．

设函数z=f(u)由方程u=φ(u)+∫xyp(x+y－t)dt所确定，u是变量x、y的函数，其中函数f(u)、φ(u)可微，而函数p(t)、φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求

假设随机变量X和Y的联合概率密度为求X和Y的联合分布函数F(x，y)；

已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα－2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3—2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．

假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求：(I)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率；(Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．

设n为正整数，f(x)＝xn＋x一1．证明：对于给定的n，f(x)在(0，＋∞)内存在唯一的零点xn；

直线L1：的夹角为____________．

当地震发生时，如果游客身处室内，下面选项操作正确的是()。

Entireculturesoperateonelaboratesystemsofindirectness.Forexample,itisdiscoveredinasmallresearchprojectthatmor

A．大肠埃希菌O14B．溶血性链球菌C．变形杆菌OX19D．大肠埃希菌O86E．肺炎球菌14型与人心肌组织具有共同抗原的是

下列核苷酸不是RNA组分的是

光传送网(OTN)的特点包括()。

金融市场最主要的交易机制是价格机制。()

企业下列( )事项的变更必须经企业登记机关登记。

下列为我国古代常用的传统纪年方式的是()。

A、 B、 C、 D、 A

下列叙述中正确的是()。

企业下列(　　　)事项的变更必须经企业登记机关登记。