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欧拉方程x2y’’+xy’-4y=x3的通解为___.
欧拉方程x2y’’+xy’-4y=x3的通解为___.
admin
2017-10-25
87
问题
欧拉方程x
2
y’’+xy’-4y=x
3
的通解为___.
选项
答案
y=C
1
x
2
+[*]x
解析
令x=e
t
,则
原方程化为[D(D-1)+D-4]y=e
3t
,即
(D
2
-4)y=e
3t
, (*)
方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r
2
-4=0,有根r
1
=2,r
2
=-2,故齐次方程的通解为
Y=C
1
e
2t
+C
2
e
-2t
=C
2
x
2
+
因为f(t)=e
3t
,λ=3不是特征方程的根,故可令y
*
=ae
3t
是方程(*)的一个特解,代入原方程x
2
y’’+xy’-4y=x
3
中,解得a=
,即y
*
=
e
3t
,因此原方程的通解为
y=Y+y
*
=C
1
x
2
+
x
3
.
故应填y=C
1
x
2
+
x
3
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1kr4777K
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