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  3. 设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)与f’—(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．

设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)与f’—(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．

admin2018-11-21  77
问题 设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)与f’—(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．
选项
答案由极限的不等式性质和题设知，存在δ＞0使得a+δ＜b—δ，且 [*] 于是 f(a+b)＞f(a)，f(b一δ)＞f(b)． 这表明f(x)在[a，b]上的最大值必在(a，b)内某点取到，即存在ξ∈(a，b)使得f(ξ)=[*]f(x)．由费马定理知f’(ξ)=0．
解析 因f(x)在[a，b]上可导，因而必连续，故存在最大值和最小值．如能证明最大值或最小值在(a，b)内取得，那么这些点的导数值必为零，从而证明了命题．注意，由于题设条件中未假设f’(x)连续，所以不能用连续函数的介值定理来证明．证明时不妨设f’+(a)＞0且f’—(b)＜0．
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考研数学一

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