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  3. (2004年)设A，B为满足AB＝O的任意两个非零矩阵，则必有 【 】

(2004年)设A，B为满足AB＝O的任意两个非零矩阵，则必有 【 】

admin2016-05-30  58
问题 (2004年)设A，B为满足AB＝O的任意两个非零矩阵，则必有    【    】
选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
答案A
解析 设A按列分块为A＝[α1  α2  …  αn]，由B≠O知B至少有一列非零，设B的第j列(b1j，bj，…，bnj)T≠0，则AB的第j列为
    [α1  α2  …  αn]＝＝0，
    即b1jα1＋b2jα2＋…＋bnjαn＝0，
    因为常数b1j，b2j，…，bnj不全为零，故由上式知A的列向量组线性相关，再由AB＝O取转置得BTAT＝O，利用已证的结果可知BT的列向量组——即B的行向量组线性相关，故A正确．
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考研数学二

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