已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

admin2020-06-05 61

问题已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A^﹣1是正定矩阵．

选项

答案因为A正定，所以A^T＝A，那么(A^﹣1)^T＝(A^T)^﹣1＝A^﹣1，于是A^﹣1是对称矩阵．方法一 (用特征值)设矩阵A^﹣1的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，则矩阵A的特征值是[*]．由A正定，知其特征值[*]﹥0(i＝1，2，…，n)，从而矩阵A^﹣1的特征值是λ_i﹥0(i＝l，2，…，n)全大于0．因此矩阵A^﹣1正定．方法二因为矩阵A正定，故存在可逆矩阵C使C^TAC＝E，那么 (C^TAC)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^T)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^﹣1)^T＝E 所以A^﹣1与E合同，故A^﹣1正定．方法三 (用定义)注意到对于任意非零向量x，有 x^TA^﹣1x＝x^T(A^﹣1AA^﹣1)x＝(x^TA^﹣1)A(A^﹣1x)＝(A^﹣1x)^TA(A^﹣1x)﹥0(A^﹣1x≠0) 从而A^﹣1正定．方法四因为A正定，那么A对称且可逆，于是A^TA^﹣1A＝A，所以A^﹣1与A合同，进而二次型x^TAx与x^TA^﹣1x有相同的正、负惯性指数．因此，由x^TAx是正定二次型，可知x^TA^﹣1x也为正定二次型，故A^﹣1正定．

解析

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考研数学一

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已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

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设f(u)连续，则d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=_______．

设A＝，r(A)＝2，则a＝_______．

设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，则齐次线性方程组BX=0和ABX=0是同解方程组的一个充分条件是()

α1，α2，α3，β线性无关，而α1，α2，α3，γ线性相关，则

设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为()

设B为n阶可逆矩阵，A是与B同阶的方阵，且A2+AB+B2=0，则()

设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为()

要使ξ1=(1，0，2)T，ξ2=(0，1，-1)T都是齐次线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵为()

设n元二次型f(x1，x2，…,xn)=XTAX，其中AT=A．如果该二次型通过可逆线性变换X=CY可化为f(y1，y2，…，yn)=YTBY，则以下结论不正确的是()．

[2013年]设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记证明二次型厂对应的矩阵为2ααT+ββT；

毛泽东指出，人民军队的唯一宗旨是()

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电信运营商“亲情号码”业务的推出是基于影响消费者购买决策的个人因素的研究。()

如图在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB=1：3，DE=2，则BC等于()。

下列哪一句反映了庄子提倡的人生境界?()

Almostathirdofchildrenregularlygowithoutbreakfastbeforeschoolandaremorelikelythanclassmatestobeinactive,unfi

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