首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知矩阵A是n阶正定矩阵,证明:A﹣1是正定矩阵.
已知矩阵A是n阶正定矩阵,证明:A﹣1是正定矩阵.
admin
2020-06-05
41
问题
已知矩阵A是n阶正定矩阵,证明:A
﹣1
是正定矩阵.
选项
答案
因为A正定,所以A
T
=A,那么(A
﹣1
)
T
=(A
T
)
﹣1
=A
﹣1
,于是A
﹣1
是对称矩阵. 方法一 (用特征值)设矩阵A
﹣1
的特征值是λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,则矩阵A的特征值是[*].由A正定,知其特征值[*]﹥0(i=1,2,…,n),从而矩阵A
﹣1
的特征值是λ
i
﹥0(i=l,2,…,n)全大于0.因此矩阵A
﹣1
正定. 方法二 因为矩阵A正定,故存在可逆矩阵C使C
T
AC=E,那么 (C
T
AC)
﹣1
=C
﹣1
A
﹣1
(C
T
)
﹣1
=C
﹣1
A
﹣1
(C
﹣1
)
T
=E 所以A
﹣1
与E合同,故A
﹣1
正定. 方法三 (用定义)注意到对于任意非零向量x,有 x
T
A
﹣1
x=x
T
(A
﹣1
AA
﹣1
)x=(x
T
A
﹣1
)A(A
﹣1
x)=(A
﹣1
x)
T
A(A
﹣1
x)﹥0(A
﹣1
x≠0) 从而A
﹣1
正定. 方法四 因为A正定,那么A对称且可逆,于是A
T
A
﹣1
A=A,所以A
﹣1
与A合同,进而二次型x
T
Ax与x
T
A
﹣1
x有相同的正、负惯性指数.因此,由x
T
Ax是正定二次型,可知x
T
A
﹣1
x也为正定二次型,故A
﹣1
正定.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2Nv4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分,求曲线积分的值.
设函数y1(x),y2(x),y3(x)线性无关,而且都是非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)(6.2)的解,C1,C2为任意常数,则该非齐次方程的通解是
设事件A,B,C两两独立,则事件A,B,C相互独立的充要条件是().
设事件A与B满足条件则()
α1,α2,α3,β线性无关,而α1,α2,α3,γ线性相关,则
设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解,则当x→0时,().
设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图所示,则A的正特征值的个数为]()
设α1,α2,α3,α4为四维非零列向量组,令A=(α1,α2,α3,α4),AX=0的通解为X=k(0,一1,3,0)T,则A*X=0的基础解系为().
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX,已知r(A)=2,并且A满足A2-2A=0.则下列各标准二次型中可用正交变换化为厂的是().(1)2y12+2y22(2)2y12.(3)2y12+2y32.
设n元二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX,其中AT=A.如果该二次型通过可逆线性变换X=CY可化为f(y1,y2,…,yn)=YTBY,则以下结论不正确的是().
随机试题
meaningfulmeaninglessconsistentpublishtruthfulappreciateembarrassfigurativesymbolically
肱骨闭合性骨折出现桡神经损伤症状的处理原则是
关于药物毒性反应的描述,正确的是( )
目前认为先天性心脏病的主要病因是
患者,女,60岁。因支气管扩张合并肺部感染、左心心力衰竭入院治疗,入院时T39℃,呼吸急促,端坐呼吸。患者以往有骨质疏松,自行长期口服活性钙,护士应嘱咐患者
下列关于石砌墩台施工的说法错误的是()。
银行汇票的出票银行为银行汇票的收款人。()
以下不属于不正当竞争行为的是()。
审计师在审计流程时发现一个不称职的系统管理员
•Readthearticlebelowaboutsmallhigh-techfirms.•Foreachquestion31—40,writeonewordinCAPITALLETTERSonyourAnswer
最新回复
(
0
)