[2015年] 设二次型f(x1，x2，x3)在正交交换X=PY下的标准形为2y12+y22－y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，一e3，e2)，则(x1，x2，x3)在正交交换X=QY下的标准形为

admin2019-05-10 67

问题 [2015年] 设二次型f(x₁，x₂，x₃)在正交交换X=PY下的标准形为2y₁²+y₂²－y₃²，其中P=(e₁，e₂，e₃)．若Q=(e₁，一e₃，e₂)，则(x₁，x₂，x₃)在正交交换X=QY下的标准形为

选项 A、2y₁²一y₂²+y₃²
B、2y₁²+y₂²一y₃²
C、2y₁²一y₂²一y₃²
D、2y₁²+y₂²+y₃²

答案A

解析已知f经正交变换X=PY化为标准形2y₁²+y₂²一y₃²，即P^-1AP=

显然二次型矩阵的特征值唯一，但排列的次序可以不一样，因而正交变换矩阵也不是唯一的，现特征值的排列顺序为2，一1，1．因而相应的特征向量为Q=(e₁，一e₃，e₂)，至此即可写出标准形．
因e₁，一e₃，e₂分别为特征值2，一1，1对应的特征向量，故在正交变换X=QY下二次型f的标准形为2y₁²一y₂²+y₃²．仅(A)入选．

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考研数学二

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