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[2015年] 设二次型f(x1,x2,x3)在正交交换X=PY下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,一e3,e2),则(x1,x2,x3)在正交交换X=QY下的标准形为
[2015年] 设二次型f(x1,x2,x3)在正交交换X=PY下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,一e3,e2),则(x1,x2,x3)在正交交换X=QY下的标准形为
admin
2019-05-10
65
问题
[2015年] 设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)在正交交换X=PY下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
-y
3
2
,其中P=(e
1
,e
2
,e
3
).若Q=(e
1
,一e
3
,e
2
),则(x
1
,x
2
,x
3
)在正交交换X=QY下的标准形为
选项
A、2y
1
2
一y
2
2
+y
3
2
B、2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
C、2y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
D、2y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
答案
A
解析
已知f经正交变换X=PY化为标准形2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
,即P
-1
AP=
显然二次型矩阵的特征值唯一,但排列的次序可以不一样,因而正交变换矩阵也不是唯一的,现特征值的排列顺序为2,一1,1.因而相应的特征向量为Q=(e
1
,一e
3
,e
2
),至此即可写出标准形.
因e
1
,一e
3
,e
2
分别为特征值2,一1,1对应的特征向量,故在正交变换X=QY下二次型f的标准形为2y
1
2
一y
2
2
+y
3
2
.仅(A)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2VV4777K
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考研数学二
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