已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2021-02-25 44

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=4x²₂-3x²₃+4x₁x₂-4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=-6．于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形 f=y²₁+6y²₂-6y²₃．对于特征值λ₁=1，由于 [*] 故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，-1)^T．类似地，对应于特征值λ₂=6，λ₃=-6的特征向量可分别取为ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，-1，2)^T．因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得 [*] 于是，所求的正交矩阵为 [*] 故对二次型f作正交变换 [*] 则可将f化为标准形 f=y²₁+6y²₂-6y²₃．

解析

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考研数学二

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已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

考研数学二

设四阶矩阵B满足BA-1=2AB+E，且A=，求矩阵B．

设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce－∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解．

设二次型经过正交变换X=QY化为标准形，求参数a，b及正交矩阵Q．

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；

设A是三阶矩阵，其特征值是1，2，3，若A与B相似，求|B*+E|．

计算二重积分，其中D由曲线与直线及围成。

设λ为可逆方阵A的特征值，且χ为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且χ为对应的特征向量．

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX＝0有非零解且λ1＝2是A的特征值，对应特征向量为(－1，0，1)T．(1)求A的其他特征值与特征向量；(2)求A．

设z＝f(χ，3χ－y)，χ＝g(y，z)＋φ()，其中f，g，5φ在其定义域内可微，求．

设三阶方阵A，B满足A－1BA=6A+BA，且A=，则B=________。

以下不属于电子商务安全要素的是()

理性认识的形式是()

可促进小肠腔内胰脂肪酶消化脂肪的主要物质是()

A、＜100mlB、＜400mlC、＞750mlD、＞2500mlE、＞3000ml肾盂肾炎病人多喝水每日尿量（）

合同分析是从()的角度去分析、补充和解释合同的具体内容和要求，使合同能符合日常工程管理的需要。

在教育史上，一般都把夸美纽斯的《大教学论》作为教育学成为一门独立学科的标志。()

关于哲学上的“价值”概念，下列说法正确的是()

Forthosewhoregardtheal-JazeeraTVchannelasabiased,anti-westernmouthpieceforOsamabinLaden,theannouncementthati

ThepeoplewhorunFacebookarefuriousaboutanewmoviethatdepictstheexistenceofFace-book.They’reupsetbecausemuchof

A、Britishpeoplefromallclassesreadnewspapers.B、Newspaperleadingisahabitofmainlymiddleclasses.C、Lowerclassesseld

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设二次型经过正交变换X=QY化为标准形，求参数a，b及正交矩阵Q．

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；

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设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX＝0有非零解且λ1＝2是A的特征值，对应特征向量为(－1，0，1)T．(1)求A的其他特征值与特征向量；(2)求A．

设z＝f(χ，3χ－y)，χ＝g(y，z)＋φ()，其中f，g，5φ在其定义域内可微，求．

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