设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．利用(1)的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2018-08-03 56

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用(1)的结果判断矩阵B—C^TA^—1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案矩阵B—C^TA^—1C是正定矩阵．证明：由(1)的结果知D合同于矩阵M=[*]，又D为正定矩阵，所以M为正定矩阵．因M为对称矩阵，故B一C^TA^—1C为对称矩阵．由M正定，知对m维零向量x=(0，0，…，0)^T及任意的n维非零向量y=(y₁，y₂，…，y_n)^T，有[x^T，y^T]M[*]=y^T(B—C^TA^—1C)y＞0 故对称矩阵B—C^TA^—1C为正定矩阵．

解析

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