求f(x,y)=x2-y2+2在椭圆域D={(x,y)|x2+≤1}上的最大值和最小值.

admin2022-06-08  57

问题 求f(x,y)=x2-y2+2在椭圆域D={(x,y)|x2+≤1}上的最大值和最小值.

选项

答案求f(x,y)x2-y2+2在区域D={(x,y)|x2+[*]≤1}上的最值应分两种情形考虑:在椭圆域D的内点考虑无约束极值问题;在椭圆域D的边界考虑条件极值问题. 解法1考查f(x,y)=x2-y2+2在区域x2+[*]<1内的极值. 令 [*] 解得x=0,y=0,即f(x,y)在x2+[*]<1内有唯一驻点(0,0). 在x2+[*]=1上,记y2=4-4x2,因此有 f(x,y)=x2-(4-4x2)+2=5x2-2,-1≤x≤1, 令df/dx=10x=0,得x=0.当x=0时,y=±2;当x=±1时,y=0. 所以f(±1,0)=3,f(0,±2)=-2. 又f(0,0)=2, 因此f(x,y)在D上的最大值为3,最小值为-2. 解法2在区域x2+[*]<1内解法同解法1. 在椭圆x2+[*]=1上,利用拉格朗日乘数法求极值.设 L=x2-y2+2+λ(x2+[*]-1), 由 [*] 解得4个可能的极值点M1(0,2),M2(0,-2),M3(1,0),M4(-1,0).所以 f(M1)=-2,f(M2)=-2,f(M3)=3,f(M4)=3, 可知f(x,y)在D上的最大值为3,最小值为-2.

解析
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