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(2004年试题,三)设有方程xn+nx一1=0,其中n为正整数.证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当α>1时,级数收敛.
(2004年试题,三)设有方程xn+nx一1=0,其中n为正整数.证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当α>1时,级数收敛.
admin
2014-07-06
112
问题
(2004年试题,三)设有方程x
n
+nx一1=0,其中n为正整数.证明此方程存在唯一正实根x
n
,并证明当α>1时,级数
收敛.
选项
答案
由题设,引入辅助函数f(x)=x
n
+nx一1则关于原方程存在唯一正实根的讨论转化为讨论函数f(x)的零点.因为f(0)=一1<0,f(1)=n>0,则由连续函数的零点定理知,f(x)在[0,1]内存在零点,设其为x
n
,即x
n
∈(0,1),且f(x
n
)=0;又,f
’
(x)=nx
n-1
+n,当x>0时f
’
(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上严格单调递增,从而x
n
是f(x)在(0,+∞)上唯一零点,即原方程x
n
+nx一1=0在(0,+∞)上存在唯一正实根x
n
n
.由x
n
+nx
n
一1=0及x
n
∈(0,1)知[*]所以当α>1时,[*]由正项级数[*]收敛及比较判别法知,[*]收敛(α>1).
解析
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考研数学一
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