(2004年试题，三)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α>1时，级数收敛．

admin2014-07-06 111

问题 (2004年试题，三)设有方程xⁿ+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根x_n，并证明当α>1时，级数

收敛．

选项

答案由题设，引入辅助函数f(x)=xⁿ+nx一1则关于原方程存在唯一正实根的讨论转化为讨论函数f(x)的零点．因为f(0)=一1<0,f(1)=n>0，则由连续函数的零点定理知，f(x)在[0,1]内存在零点，设其为x_n，即x_n∈(0，1)，且f(x_n)=0；又，f^’(x)=nx^n－1+n，当x>0时f^’(x)>0，所以f(x)在[0，+∞)上严格单调递增，从而x_n是f(x)在(0，+∞)上唯一零点，即原方程xⁿ+nx一1=0在(0，+∞)上存在唯一正实根x_nⁿ．由x_n+nx_n一1=0及x_n∈(0，1)知[*]所以当α>1时，[*]由正项级数[*]收敛及比较判别法知，[*]收敛(α>1)．

解析

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考研数学一

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