当x＞0时，证明：ex＞1+x.

admin2021-03-16 8

问题当x＞0时，证明：e^x＞1+x.

选项

答案解法一：在[0,x]上令F(x)=e^x,则使用拉格朗日中值定理得 F(x)-F(0)=F’(ξ)(x-0),ξ∈(0,x),即e^x-1=e^ξ·x 由于e^ξ＞1，所以e^x-1＞x,即e^x＞1+x. 解法二：令G(x)=e^x-1-x,即G’(x)=e^x-1,故在[0,x]内G’(x)＞0, 所以在[0,x]上G(x)单调递增，由G(0)=0,得x＞0时，G(x)＞0, 即e^x-1-x＞0,即e^x＞1+x.

解析

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