2. 考研
  3. 设曲线l：y=f(x)在第一象限(如图所示)，其上任意一点C处的切线与y轴的交点为A，CD垂直于x轴，CB垂直于y轴，如果△ABC的面积恒等于曲边梯形EODC的面积． (I)求曲线l：y=f(x)所满足的微分方程； (Ⅱ)求该微分方程的通解．

设曲线l：y=f(x)在第一象限(如图所示)，其上任意一点C处的切线与y轴的交点为A，CD垂直于x轴，CB垂直于y轴，如果△ABC的面积恒等于曲边梯形EODC的面积． (I)求曲线l：y=f(x)所满足的微分方程； (Ⅱ)求该微分方程的通解．

admin2020-09-23  41
问题 设曲线l：y=f(x)在第一象限(如图所示)，其上任意一点C处的切线与y轴的交点为A，CD垂直于x轴，CB垂直于y轴，如果△ABC的面积恒等于曲边梯形EODC的面积．
(I)求曲线l：y=f(x)所满足的微分方程；
(Ⅱ)求该微分方程的通解．
选项
答案(I)点C处的切线方程为Y—y=y’(X-x)，令X=0，得Y=y—xy’，即为A点的纵坐标，则△ABC的面积为[*]曲边梯形EODC的面积为∫0xy(t)dt，则由已知条件，得 [*]x2y’=∫0xy(t)dt，即x2y’=2∫0xy(t)dt，等式两边对x求导，得 2xy’+x2y”=2y， 所以x2y”+2xy’一2y=0即为l：y=f(x)所满足的微分方程． (Ⅱ)令x=et，则t=lnx，于是 [*] 将它们代入微分方程，得 [*] 这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=一2，r2=1，故其通解为 y=C1e-2t+C2et=C1e-2lnx+C2elnx=[*]，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学一

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