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设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r，r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r，r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
admin
2020-04-30
35
问题
设α
i
=(α
i1
，α
i2
，…，α
in
)
T
(i=1，2，…，r，r＜n)是n维实向量，且α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，已知β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量，试判断向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，β的线性相关性．
选项
答案
设有一组数x
1
，x
2
，…，x
r+1
使得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
r
α
r
+x
r+1
β=0， (*) 用β
T
左乘(*)式两端，由于β是方程组的非零解，所以β
T
α
i
=0(i=1，2，…，r)，从而得x
r+1
β
T
β=0，而β≠0，故 β
T
β≠0，从而x
r+1
=0，代入(*)式并注意到向量组α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，可得x
1
=0，x
2
=0，…，x
r
=0，所以向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，β线性无关．
解析
本题是向量与方程组的综合题．注意β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
是线性方程组的解，则有
即β
T
α
i
=0(i=1，2，…，r)．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/32v4777K
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考研数学一
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