已知数列{f(n)}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n；若a1=f(1)，an+1=f(an)(n∈N*)，求证数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的前n项和Tn．

admin2011-01-28 66

问题已知数列{f(n)}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n；
若a₁=f(1)，a_n+1=f(a_n)(n∈N*)，求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{an}的前n项和T_n．

选项

答案a₁=f(1)=3，a_n+1=2a_n+1(n∈N*)．即a_n+1+1=2(a_n+1)．∴数列{an+1}是首项为4、公比为2的等比数列．a_n+1=(a₁+1)?2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴a_n=2ⁿ⁺¹-1(n∈N*)．T_n=(2²+2³+…+2ⁿ⁺¹)-n=2ⁿ⁺²-4-n．

解析

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