设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知总体X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布． (Ⅰ)试求总体X的数学期望E(X)的矩估计量和最大似然估计量； (Ⅱ)检验所得估计是否为无偏估计．

admin2018-11-23 50

问题设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，已知总体X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布．
(Ⅰ)试求总体X的数学期望E(X)的矩估计量和最大似然估计量；
(Ⅱ)检验所得估计是否为无偏估计．

选项

答案(Ⅰ)由题设知，总体X的概率密度为 [*] 而E(X)＝[*]，现要对[*]进行矩估计和最大似然估计．首先求矩估计量[*]：只有一个参数，用总体矩等于样本矩来解．总体一阶矩为E(X)，样本一阶矩为[*]，令E(X)＝[*]，则E(X)的矩估计量[*] 再求最大似然估计量[*]：似然函数为 [*] 由[*]＝0，解得λ＝[*]，则[*]，可以验证[*]是最大似然估计．根据最大似然估计的不变性可知，E(X)的最大似然估计量[*] 由上可知[*] (Ⅱ)由于[*]，故[*]均是E(X)的无偏估计量．

解析

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考研数学一

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设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知总体X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布． (Ⅰ)试求总体X的数学期望E(X)的矩估计量和最大似然估计量； (Ⅱ)检验所得估计是否为无偏估计．

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