设f(x)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(x)-f’(x)|≤1,证明:|f(x)|≤1.

admin2022-06-30  29

问题 设f(x)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(x)-f’(x)|≤1,证明:|f(x)|≤1.

选项

答案因为f(x)有界,所以[*]e-xf(x)=0, 于是e-xf(x)|x+∞=∫x+∞[e-xf(x)]’dx, 即e-xf(x)= ∫x+∞-e-x[f(x)-f’(x)]dx,两边取绝对值得 e-x|f(x)|≤∫x+∞e-x|f(x)-f’(x)|dx≤∫x+∞e-xdx=e-x,故|f(x)|≤1.

解析
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