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设f(χ)为连续函数,解方程f(χ)=2(eχ-1)+∫0χ(χ-t)f(y)dt.
设f(χ)为连续函数,解方程f(χ)=2(eχ-1)+∫0χ(χ-t)f(y)dt.
admin
2018-06-12
59
问题
设f(χ)为连续函数,解方程f(χ)=2(e
χ
-1)+∫
0
χ
(χ-t)f(y)dt.
选项
答案
先将原方程改写成 f(χ)=2(e
χ
-1)+χ∫
0
χ
f(t)dt-∫
0
χ
tf(t)dt 然后两边求导得f′(χ)=2e
χ
+∫
0
χ
f(t)dt. (*) 在原方程中令χ=0得f(0)=0;又在上式中令χ=0得f′(0)=2. 再将(*)式求导得f〞(χ)=2e
χ
+f(χ). 于是,问题转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题,即 [*] 其中,y=f(χ).特征方程为λ
2
-1=0,特征根λ=±1,非齐次项ae
αχ
,α=2,α=1为单特征根,故有特解y
*
=Aχe
χ
,代入方程得A(χ+2)e
χ
-Aχe
χ
-2e
χ
.比较上式两端系数得A=1,于是y
*
=χe
χ
.因此,通解为 y=C
1
e
χ
+C
2
e
-χ
+χe
χ
. 由初值y(0)=0,y′(0)=2得C
1
=[*],C
2
=-[*].最后求得 y=f(χ)=[*]+χe
χ
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3Fg4777K
0
考研数学一
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