设f(χ)为连续函数，解方程f(χ)＝2(eχ－1)＋∫0χ(χ－t)f(y)dt．

admin2018-06-12 54

问题设f(χ)为连续函数，解方程f(χ)＝2(e^χ－1)＋∫₀^χ(χ－t)f(y)dt．

选项

答案先将原方程改写成 f(χ)＝2(e^χ－1)＋χ∫₀^χf(t)dt－∫₀^χtf(t)dt 然后两边求导得f′(χ)＝2e^χ＋∫₀^χf(t)dt． (*) 在原方程中令χ＝0得f(0)＝0；又在上式中令χ＝0得f′(0)＝2．再将(*)式求导得f〞(χ)＝2e^χ＋f(χ)．于是，问题转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题，即 [*] 其中，y＝f(χ)．特征方程为λ²－1＝0，特征根λ＝±1，非齐次项ae^αχ，α＝2，α＝1为单特征根，故有特解y^*＝Aχe^χ，代入方程得A(χ＋2)e^χ－Aχe^χ－2e^χ．比较上式两端系数得A＝1，于是y^*＝χe^χ．因此，通解为 y＝C₁e^χ＋C₂e^－χ＋χe^χ．由初值y(0)＝0，y′(0)＝2得C₁＝[*]，C₂＝－[*]．最后求得 y＝f(χ)＝[*]＋χe^χ．

解析

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考研数学一

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