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设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求: A的特征值和特征向量;
设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求: A的特征值和特征向量;
admin
2021-07-27
45
问题
设向量α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
,β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
都是非零向量,且满足条件α
T
β=0,记n阶矩阵A=αβ
T
,求:
A的特征值和特征向量;
选项
答案
方法一 利用A
2
=0的结果.设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则Aξ=λξ.两端左乘A,得A
2
ξ=λAξ=λ
2
ξ.因A
2
=0,所以λ
2
ξ=0,又ξ≠0,故λ=0,即矩阵A的全部特征值为0. 方法二 直接用特征值的定义.Aξ=αβξ=λξ,①由①式若β
T
ξ=0,则λξ=0,又ξ≠0,得λ=0.若β
T
ξ≠0,①式两端左乘β
T
,得β
T
αβ
T
ξ=(β
T
α)β
T
ξ=(α
T
β)
T
(β
T
ξ)=0·(β
T
ξ)=λβ
T
ξ,得λ=0,故A的全部特征值为0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3Ly4777K
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考研数学二
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