首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f’(x)存在,设连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于点C(c,f(c)),且a<c<b,试证:在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0。
已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f’(x)存在,设连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于点C(c,f(c)),且a<c<b,试证:在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0。
admin
2015-11-16
50
问题
已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f’(x)存在,设连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于点C(c,f(c)),且a<c<b,试证:在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0。
选项
答案
证 直线AB的方程是[*] 引进辅助函数[*] 它的几何意义是连接A、B两点的直线与曲线f(x)之差,由题设知在A点、B点及C点处这两条线相交,自然有 F(a)=F(b)=F(c)=0, 也就是说在这三点处两函数的函数值相同。 由已知条件F(a)=F(c)=F(b)=0知,函数F(x)在区间[a,c]和[c,b]上满足罗尔定理。因此,在区间(a,c)内至少存在一点ξ
1
,使得F’(ξ
1
)=0;在区间(c,b)内至少存在一点ξ
2
,使得F’(ξ
2
)=0。 因a<ξ
1
<c<ξ
2
<b,且F"(x)=f"(x)在(a,b)内存在,故F’(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上满足罗尔定理条件。于是,在区间(ξ
1
,ξ
2
)内至少存在一点ξ,显然ξ也在区间(a,b)内,使得 F"(ξ)=f"(ξ)=0
解析
[证题思路] 利用曲线f(x)与直线AB的方程之差作一辅助函数F(x),由题设知这两条线有三个交点,因而F(x)有三个零点,三次使用罗尔定理,可知存在ξ∈(a,b),使f"(ξ)=0。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3Tw4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设f(x)在[a,b]上二阶可导且f"(x)>0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数.
比较定积分的大小.
计算其中L是以(1,0)为中心,R为半径的圆周(R>1),取逆时针方向.积分曲线如图6-9.
求曲线Y=x3,x=1与x轴围成的封闭图形绕x=2旋转一周所得旋转体的体积.
求函数的单调区间与极值,并求该曲线的渐近线.
设a1=1,当n≥1时,an+1=,证明:数列{an}收敛并求其极限.
四元非齐次线性方程组AX=b有三个解向量α1,α2,α3且r(A)=3,设α1+α2=,求方程组AX=b的通解.
设有三个线性无关的特征向量,且λ=2为A的二重特征值,求可逆阵P,使得P-1AP为对角矩阵。
设有三个线性无关的特征向量,则a=________.
计算,Ω是球面x2+y2+z2=4与抛物面x2+y2=3z所围形成.
随机试题
数据统计分析的最后一个步骤是
3岁男孩,以水肿、尿少10天入院。血压150/112mmHg,贫血貌。血WBC6.1×109/L,Hb61g/L,PLT40×109/L,网织红细胞5.5%:尿蛋白(+++),RBC3~4/HP;BUN20mmol/L。最可能的诊断是
()等的阀叶转动轴及轴套应采用耐腐蚀合金材料,不得采用碳素钢材。
甲公司的下列未达账项中,会导致银行存款对账单金额小于银行存款日记账金额的有()。
大华公司2012年应交所得税30万元;年初的递延所得税资产和递延所得税负债为10万元和5万元;年末的递延所得税资产和递延所得税负债余额为15万元和10万元。则大华公司2012年应确认的所得税费用金额为()万元。
一方当事人向人民法院起诉时未声明有仲裁协议的,另一方在人民法院受理后、作出判决前提交仲裁协议的,人民法院应当驳回起诉,但仲裁协议无效的除外。()
峄城万亩石榴园内花果的观赏期可达半年之久,石榴的果实皮色有()等多种颜色。
《全国农业现代化规划(2016—2020年)》的印发,确定了我国农业现代化的五方面发展任务:一是创新强农,二是协调惠农,三是绿色兴农,四是开放助农,五是()富农。
常用来对错误记忆进行定量研究的手段有()(2015.73)
Everyproductonthemarkethasavarietyofcostsbuiltintoitbeforeitiseverputupforsaletoacustomer.Therearecost
最新回复
(
0
)