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已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f’(x)存在,设连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于点C(c,f(c)),且a<c<b,试证:在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0。
已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f’(x)存在,设连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于点C(c,f(c)),且a<c<b,试证:在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0。
admin
2015-11-16
57
问题
已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f’(x)存在,设连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于点C(c,f(c)),且a<c<b,试证:在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0。
选项
答案
证 直线AB的方程是[*] 引进辅助函数[*] 它的几何意义是连接A、B两点的直线与曲线f(x)之差,由题设知在A点、B点及C点处这两条线相交,自然有 F(a)=F(b)=F(c)=0, 也就是说在这三点处两函数的函数值相同。 由已知条件F(a)=F(c)=F(b)=0知,函数F(x)在区间[a,c]和[c,b]上满足罗尔定理。因此,在区间(a,c)内至少存在一点ξ
1
,使得F’(ξ
1
)=0;在区间(c,b)内至少存在一点ξ
2
,使得F’(ξ
2
)=0。 因a<ξ
1
<c<ξ
2
<b,且F"(x)=f"(x)在(a,b)内存在,故F’(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上满足罗尔定理条件。于是,在区间(ξ
1
,ξ
2
)内至少存在一点ξ,显然ξ也在区间(a,b)内,使得 F"(ξ)=f"(ξ)=0
解析
[证题思路] 利用曲线f(x)与直线AB的方程之差作一辅助函数F(x),由题设知这两条线有三个交点,因而F(x)有三个零点,三次使用罗尔定理,可知存在ξ∈(a,b),使f"(ξ)=0。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3Tw4777K
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考研数学一
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