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  3. 设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2012-02-09  43
问题 设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
选项
答案必要性．设BTAB为正定矩阵，按定义V x≠0，恒有xT(BTAB)x>0．即V x≠0，恒有(Bx)TA(Bx)>0．即V x≠0，恒有Bx≠0．齐次线性方程组Bx=0只有零解，故r(B)=n． 充分性．因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知B<
解析
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在职会计硕士（综合能力）

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