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  3. 设曲线积分∫Lyf(x)dx+[f(x)一x2]dy与路径无关，其中f(x)可导’且f(0)=1，求∫01xf(x)dx．

设曲线积分∫Lyf(x)dx+[f(x)一x2]dy与路径无关，其中f(x)可导’且f(0)=1，求∫01xf(x)dx．

admin2020-09-23  32
问题 设曲线积分∫Lyf(x)dx+[f(x)一x2]dy与路径无关，其中f(x)可导’且f(0)=1，求∫01xf(x)dx．
选项
答案因为曲线积分∫Lyf(x)dx+[f(x)一x2]dy与路径无关，所以[*]即f’(x)一2x=f(x)， 于是f’(x)一f(x)=2x，[f’(x)一f(x)]e-x=2xe-x，即[f(x)e-x]’=2xe-x， 等式两边对x积分，得 f(x)e-x=∫2xe-xdx=一2xe-x一2e-x+C， 由f(0)=1，得C=3，所以f(x)=3ex一2x一2． 故∫01xf(x)dx=∫01(3xex一2x2一2x)dx=[*]
解析
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考研数学一

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