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设f(x)=nx(1-x)n(n=1,2,…),Mn是f(x)在[0,1]上的最大值,求极限
设f(x)=nx(1-x)n(n=1,2,…),Mn是f(x)在[0,1]上的最大值,求极限
admin
2017-05-31
49
问题
设f(x)=nx(1-x)
n
(n=1,2,…),M
n
是f(x)在[0,1]上的最大值,求极限
选项
答案
f’(x)=n(1一x)
n
一n
2
x(1一x)
n-1
. 令 f’(x)=0,得n
2
x(1一x)
n-1
=n(1一x)
n
,即nx=1一x.于是得驻点[*]又[*]为f(x)在(0,1)内的极大值. 比较f(0)=0,f(1)=0和M
n
可知,f(x)在[0,1]上的最大值为M
n
= [*]
解析
先求f(x)在[0,1]上的最大值M
n
,再求极限.
本题的极限是“1
∞
”型未定式,其一般形式为limf(x)
g(x)
,其中limf(x)=1,limg(x)=∞.为求极限,也可先将幂指函数f(x)
g(x)
化为指数型复合函数e
g(x)lnf(x)
,利用等价无穷小量替换定理: lnf(x)=ln[1+(f(x)-1)]~f(x)-1,可得: limf(x)
g(x)
=e
limg(x)lnf(x)
=e
limg(x)[f(x)-1]
.于是,将求幂指函数的极限limf(x)
g(x)
转化为求积函数的极限limg(x)[f(x)-1].
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考研数学一
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