设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y2一y2一y2，又A*α=α，其中a一(1，1，一1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准

admin2017-02-28 56

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX经过正交变换化为标准形f=2y²一y²一y²，又A^*α=α，其中a一(1，1，一1)^T．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX化为标准形．

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ₁=2，λ₂=一1，λ₃=一1，｜A｜=2，伴随矩阵A^*的特征值为μ₁=1，μ₂=一2，μ₃=一2．由A^*α=α得AA^*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，一1)^T是矩阵A的对应于特征值λ₁=2的特征向量．令ξ=(x₁，x₂，x₃)T为矩阵A的对应于特征值λ₂=一1，λ₃=一1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以α^Tξ=0，即x₁+x₂—x₃=0，于是λ₂=一1，λ₃=一1对应的线性无关的特征向量为 [*]

解析

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y2一y2一y2，又A*α=α，其中a一(1，1，一1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准

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