设A=(aij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X．都有XTAX=0→A为反对称矩阵．

admin2018-07-31 28

问题设A=(a_ij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X．都有X^TAX=0→A为反对称矩阵．

选项

答案必要性：取X=ε_j=(0，…，0，1，0，…，0)^T(第j个分量为1，其余分量全为零的n维列向量)，则由0=ε_j^TAε_j=a_jj，及i≠j时，有0=(ε_i+ε_j)^TA(ε_i+ε_j)=ε_i^TAε_i+ε_i^TAε_j+ε_j^TAε_i+ε_j^TAε_j=0+a_ij+a_ji+0=a_ij+a_ji，可知A为反对称矩阵．充分性：若A^T=一A，则X^TA^TX=一X^TAX，又X^TA^TX为1阶方阵．其转置不变，因而有X^TA^TX=(X^TA^TX)^T=X^TAX→X^TAX=一X^TAX→2X^TAX=0→X^TAX=0．

解析

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考研数学一

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设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．(1)求矩阵A的特征值；(2)判断矩阵A可否对角化．
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设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，一a，1)T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1—a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=___________．
设二维随机变量(X1，Y1)与(X2，Y2)的联合概率密度分别为求：(Ⅰ)常数K1，K2的值；(Ⅱ)Xi，Yi(i=1，2)的边缘概率密度；(Ⅲ)P{Xi＞2Yi}(i=1，2)．
已知A=是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量并求可逆矩阵P使P－1AP=A．
设齐次线性方程组的系数矩阵记为A，Mj(j=1，2，…，n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式，证明：如果Mj不全为0，则(M1，一M2，…，(一1)n－1Mn)T．是该方程组的基础解系．

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