求曲线x3－xy﹢y3﹦1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

admin2019-01-22 28

问题求曲线x³－xy﹢y³﹦1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

选项

答案构造函数 L(x，y)﹦x²﹢y²﹢λ(x³－xy﹢y²－1)，且令 [*] 得唯一驻点x﹦1，y﹦1，即M₁(1，1)。考虑边界上的点M₂(0，1)和M₃(1，0)，距离函数f(x，y)﹦[*]在三点的取值分别为f(1，1)﹦[*]，f(0，1)﹦1，f(1，0)﹦1，由此可知最长距离为[*]，最短距离为1。本题考查多元函数求最值。要求曲线上的点与坐标原点距离的最大值和最小值，即求解f(x，y)﹦[*]的最大值与最小值，此时可考虑所求距离的平方(即x²﹢y²)的最大值和最小值。因此，原问题转化为求目标函数f(x，y)﹦x²﹢y²在约束条件戈x³－xy﹢y³﹦1(x≥0，y≥0)下的最值，考生可采用拉格朗日乘数法求解。

解析

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考研数学一

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