2. 考研
  3. 求曲线x3－xy﹢y3﹦1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

求曲线x3－xy﹢y3﹦1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

admin2019-01-22  63
问题 求曲线x3－xy﹢y3﹦1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
选项
答案构造函数 L(x，y)﹦x2﹢y2﹢λ(x3－xy﹢y2－1)， 且令 [*] 得唯一驻点x﹦1，y﹦1，即M1(1，1)。 考虑边界上的点M2(0，1)和M3(1，0)，距离函数f(x，y)﹦[*]在三点的取值分别为f(1，1)﹦[*]，f(0，1)﹦1，f(1，0)﹦1，由此可知最长距离为[*]，最短距离为1。 本题考查多元函数求最值。要求曲线上的点与坐标原点距离的最大值和最小值，即求解f(x，y)﹦[*]的最大值与最小值，此时可考虑所求距离的平方(即x2﹢y2)的最大值和最小值。因此，原问题转化为求目标函数f(x，y)﹦x2﹢y2在约束条件戈x3－xy﹢y3﹦1(x≥0，y≥0)下的最值，考生可采用拉格朗日乘数法求解。
解析
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考研数学一

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