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求曲线x3-xy﹢y3﹦1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
求曲线x3-xy﹢y3﹦1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
admin
2019-01-22
43
问题
求曲线x
3
-xy﹢y
3
﹦1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
选项
答案
构造函数 L(x,y)﹦x
2
﹢y
2
﹢λ(x
3
-xy﹢y
2
-1), 且令 [*] 得唯一驻点x﹦1,y﹦1,即M
1
(1,1)。 考虑边界上的点M
2
(0,1)和M
3
(1,0),距离函数f(x,y)﹦[*]在三点的取值分别为f(1,1)﹦[*],f(0,1)﹦1,f(1,0)﹦1,由此可知最长距离为[*],最短距离为1。 本题考查多元函数求最值。要求曲线上的点与坐标原点距离的最大值和最小值,即求解f(x,y)﹦[*]的最大值与最小值,此时可考虑所求距离的平方(即x
2
﹢y
2
)的最大值和最小值。因此,原问题转化为求目标函数f(x,y)﹦x
2
﹢y
2
在约束条件戈x
3
-xy﹢y
3
﹦1(x≥0,y≥0)下的最值,考生可采用拉格朗日乘数法求解。
解析
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考研数学一
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