设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)－3∫0xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．

admin2019-09-27 19

问题设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)－3∫₀^xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．

选项

答案∫₀^xf(t－x)dt=－∫₀^xf(t－x)d(x－t)[*]－∫_x⁰f(－u)du=∫₀^xf(u)du，则有f′(x)+2f(x)－3∫₀^xf(u)du=－3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f′(x)是奇函数，于是f′(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f′(x)+2f(x)－3∫₀^xf(u)du=－3x+2两边对x求导得 f″(x)+2f′(x)－3f(x)=－3，其通解为f(x)=C₁e^x+C₂e^－3x+1，将初始条件代入f(x)，得C₁=C₂=0，所以f(x)=1．

解析

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考研数学一

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