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设f(x)在(a，b)内可导，证明：x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f′(x)在(a，b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f′(x0)(x－x0)＞f(x)． (*)
设f(x)在(a，b)内可导，证明：x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f′(x)在(a，b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f′(x0)(x－x0)＞f(x)． (*)
admin
2016-10-26
68
问题
设f(x)在(a，b)内可导，证明：
x，x
0
∈(a，b)且x≠x
0
时，f′(x)在(a，b)单调减少的充要条件是
f(x
0
)+f′(x
0
)(x－x
0
)＞f(x)． (*)
选项
答案
充分性：设(*)成立，[*]x
1
，x
2
∈(a，b)且x
1
＜x
2
[*] f(x
2
)＜f(x
1
)+f′(x
1
)(x
2
－x
1
)，f(x
1
)＜f(x
2
)+f′(x
2
)(x
1
－x
2
)． 两式相加 [*] [f′(x
1
)－f′(x
2
)](x
2
－x
1
)＞0 [*] f′(x
1
)＞f′(x
2
)，即f′(x)在(a，b)单调减少． 必要性：设f′(x)在(a，b)单调减少．对于[*]x，x
0
∈(a，b)且x≠x
0
，由微分中值定理得 f(x)－[f(x
0
)+f′(x
0
)(x－x
0
)]=[f′(ξ)－f′(x
0
)](x－x
0
)＜0， 其中ξ在x与x
0
之间，即(*)成立．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Gu4777K
0
考研数学一
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