设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )

admin2017-01-14 40

问题设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )

选项 A、λE-A=λE-B。
B、A与B有相同的特征值和特征向量。
C、A和B都相似于一个对角矩阵。
D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似。

答案D

解析因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确。
相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确。
对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确。
综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使
P^-1AP=B，
于是 P^-1(tE-A)P=tE-P^-1AP=tE-B，
可见对任意常数t，矩阵tE-A与tE-B相似。所以应选D。

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