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设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值,χ1、χ2分别是属于λ1、λ2的特征向量.证明:χ1+χ2不是A的特征向量.
设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值,χ1、χ2分别是属于λ1、λ2的特征向量.证明:χ1+χ2不是A的特征向量.
admin
2017-12-23
52
问题
设λ
1
,λ
2
是n阶矩阵A的两个不同特征值,χ
1
、χ
2
分别是属于λ
1
、λ
2
的特征向量.证明:χ
1
+χ
2
不是A的特征向量.
选项
答案
用反证法:若χ
1
+χ
2
是A的属于特征值λ
0
的特征向量.则有A(χ
1
+χ
2
)=λ
0
(χ
1
+χ
2
),即Aχ
1
+Aχ
2
=λ
0
χ
1
+λ
0
χ
2
,因Aχ
i
=λ
i
χ
i
(i=1,2),得(λ
1
-λ
0
)χ
1
+(λ
2
-λ
0
)χ
2
=0,由于属于不同特征值的特征向量χ
1
与χ
2
线性无关,得λ
1
-λ
0
=0=λ
2
-λ
0
[*]λ
1
=λ
2
,这与λ
1
≠λ
2
发生矛盾.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4hk4777K
0
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