设α1，α2，…，αs是一个n维向量组，β和γ也都是n维向量．判断下列命题的正确性． ①如果β，γ都可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ也可用α1，α2，…，αs线性表示． ②如果β，γ都不可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ也

admin2018-06-27 68

问题设α₁，α₂，…，α_s是一个n维向量组，β和γ也都是n维向量．判断下列命题的正确性．
①如果β，γ都可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，则β+γ也可用α₁，α₂，…，α_s线性表示．
②如果β，γ都不可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，则β+γ也不可用α₁，α₂，…，α_s线性表示．
③如果β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，而γ不可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，则β+γ可用α₁，α₂，…，α_s线性表示．
④如果β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，而γ不可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，则β+γ不可用α₁，α₂，…，α_s线性表示．

选项

答案正确的是①和④，②和③都不对． ①显然． ②不对，可用一个反例说明．取β不可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，γ=-β，则γ也不可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，但是β+γ=0，是可用α₁，α₂，…，α_s线性表示．用反证法说明③不对④对．如果β+γ可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，则因为β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，所以γ=(β+γ)-β也可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，与条件矛盾． n维向量组β₁，β₂，…，β_s可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示，即β₁，β₂，…，β_s中的每一个都可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示．向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系：乘积矩阵AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示，而AB的行向量组可以用B的行向量组线性表示．反过来，如果向量组β₁，β₂，…，β_s可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示，则矩阵(β₁，β₂，…，β_s)可分解为矩阵(α₁，α₂，…，α_s)和一个矩阵C的乘积．(C这样构造：它的第i个列向量就是β_i对α₁，α₂，…，α_s的分解系数．)称C为β₁，β₂，…，β_s对α₁，α₂，…，α_s的表示矩阵．(C不一定是唯一的，唯一的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_s线性无关．) 向量组的线性表示关系有传递性，即如果向量组β₁，β₂，…，β_s可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示，而α₁，α₂，…，α_s可以用γ₁，γ₂，…，γ_s线性表示，则β₁，β₂，…，β_s可以用γ₁，γ₂，…，γ_s线性表示．当向量组α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_s互相都可以线性表示时，就说它们等价，并记作{α₁，α₂，…，α_s}[*]{β₁，β₂，…，β_s}．等价关系也有传递性．

解析

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考研数学二

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