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设α1,α2,…,αs是一个n维向量组,β和γ也都是n维向量.判断下列命题的正确性. ①如果β,γ都可用α1,α2,…,αs线性表示,则β+γ也可用α1,α2,…,αs线性表示. ②如果β,γ都不可用α1,α2,…,αs线性表示,则β+γ也
设α1,α2,…,αs是一个n维向量组,β和γ也都是n维向量.判断下列命题的正确性. ①如果β,γ都可用α1,α2,…,αs线性表示,则β+γ也可用α1,α2,…,αs线性表示. ②如果β,γ都不可用α1,α2,…,αs线性表示,则β+γ也
admin
2018-06-27
63
问题
设α
1
,α
2
,…,α
s
是一个n维向量组,β和γ也都是n维向量.判断下列命题的正确性.
①如果β,γ都可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则β+γ也可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示.
②如果β,γ都不可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则β+γ也不可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示.
③如果β可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,而γ不可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则β+γ可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示.
④如果β可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,而γ不可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则β+γ不可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示.
选项
答案
正确的是①和④,②和③都不对. ①显然. ②不对,可用一个反例说明. 取β不可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,γ=-β,则γ也不可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,但是β+γ=0,是可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示. 用反证法说明③不对④对.如果β+γ可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则因为β可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,所以γ=(β+γ)-β也可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,与条件矛盾. n维向量组β
1
,β
2
,…,β
s
可以用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,即β
1
,β
2
,…,β
s
中的每一个都可以用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示. 向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系:乘积矩阵AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示,而AB的行向量组可以用B的行向量组线性表示. 反过来,如果向量组β
1
,β
2
,…,β
s
可以用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则矩阵(β
1
,β
2
,…,β
s
)可分解为矩阵(α
1
,α
2
,…,α
s
)和一个矩阵C的乘积.(C这样构造:它的第i个列向量就是β
i
对α
1
,α
2
,…,α
s
的分解系数.)称C为β
1
,β
2
,…,β
s
对α
1
,α
2
,…,α
s
的表示矩阵.(C不一定是唯一的,唯一的充分必要条件是α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关.) 向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组β
1
,β
2
,…,β
s
可以用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,而α
1
,α
2
,…,α
s
可以用γ
1
,γ
2
,…,γ
s
线性表示,则β
1
,β
2
,…,β
s
可以用γ
1
,γ
2
,…,γ
s
线性表示. 当向量组α
1
,α
2
,…,α
s
和β
1
,β
2
,…,β
s
互相都可以线性表示时,就说它们等价,并记作{α
1
,α
2
,…,α
s
}[*]{β
1
,β
2
,…,β
s
}. 等价关系也有传递性.
解析
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考研数学二
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