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设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明： (I)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．
设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明： (I)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．
admin
2017-05-18
71
问题
设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限
f(x)=B．证明：
(I)设A＜B，则对
μ∈(A，B)，
ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；
(Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．
选项
答案
利用极限的性质转化为有界区间的情形． (I)由[*]f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，[*]X
1
使得f(X
1
)＜μ． 由[*]f(x)=B＞μ可知，[*]X
2
＞X
1
使得f(X
2
)＞μ．因f(x)在[X
1
，X
2
]连续，f(X
1
)＜μ＜f(X
2
)，由连续函数介值定理知[*]ξ∈(X
1
，X
2
)[*](－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． (Ⅱ)因[*]f(x)=A，[*]f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，[*]X
1
使得当x∈(－∞，X
1
)时f(x)有界；[*]X
2
(＞X
1
)使得当x∈(X
2
，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X
1
，X
2
]上有界．因此f(x)在(－∞，+∞)上有界．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5Su4777K
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考研数学一
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