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设连续函数f(x)>0且单调递增,则积分I1=∫0π/2f(x)sinxdx,I2=∫0π/2f(x)cosxdx,I3=∫0π/2d(x)tanxdx的大小关系为( )
设连续函数f(x)>0且单调递增,则积分I1=∫0π/2f(x)sinxdx,I2=∫0π/2f(x)cosxdx,I3=∫0π/2d(x)tanxdx的大小关系为( )
admin
2019-12-06
69
问题
设连续函数f(x)>0且单调递增,则积分I
1
=∫
0
π/2
f(x)sinxdx,I
2
=∫
0
π/2
f(x)cosxdx,I
3
=∫
0
π/2
d(x)tanxdx的大小关系为( )
选项
A、I
1
﹥I
2
﹥I
3
B、I
1
﹥I
3
﹥I
2
C、I
2
﹥I
3
﹥I
1
D、I
3
﹥I
1
﹥I
2
答案
D
解析
由于积分区间相同,比较被积函数的大小,
I
1
-I
2
=∫
0
π/2
f(x)(sinx-cosx)dx
=∫
0
π/4
f(x)(sinx-cosx)dx+∫
π/4
π/2
f(x)(sinx-cosx)dx,
令x=
-t则
∫
π/4
π/2
f(x)(sinx-cosx)dx=∫
0
π/4
f(
-t)[sin(
-t)-cos(
-t)]dt
=∫
0
π/4
f (
-t)(cosx-sinx)dx,
则有I
1
-I
2
=∫
0
π/4
[f(x) -f(
-x)] (sinx-cosx)dx,
已知函数d(x)﹥0且单调递增,则f(x)-
﹤0,而当0﹤x﹤
时,sinx﹤cosx,可以得到
被积函数
,
从而I
1
﹥I
2
。
I
3
-I
1
=∫
0
π/2
f(x)(tanx-sinx)dx,
当x﹥0时,有tanx-sinx﹥0,又因为f(x)﹥0,所以f(x)(tanx-sinx)﹥0,即I
3
-I
1
﹥0,综上可得I
3
﹥I
1
﹥I
2
。
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0
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