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  3. 设A是n阶矩阵，证明： (Ⅰ)r(A)＝1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A＝αβT； (Ⅱ)r(A)＝1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

设A是n阶矩阵，证明： (Ⅰ)r(A)＝1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A＝αβT； (Ⅱ)r(A)＝1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

admin2019-07-28  107
问题 设A是n阶矩阵，证明：
    (Ⅰ)r(A)＝1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A＝αβT；
    (Ⅱ)r(A)＝1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．
选项
答案(I)若r(A)＝1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即 [*] 于是A＝[*](b1，b2，…，bn)． 令[*]，显然α，β都不是零向量且A＝αβT； 反之，若A＝αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)＝1． (Ⅱ)因为r(A)＝1，所以存在非零列向量α，β，使得A＝αβT，显然tr(A)＝(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)＝k≠0． 令AX＝λX，因为A2＝kA，所以λ2X＝kλX，或(λ2－kλ)X＝0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ＝0或λ＝k． 因为λ1＋λ2＋…＋λn＝tr(A)＝k，所以λ1＝k，λ2＝λ3＝…＝λn＝0，由r(0E－A)＝r(A)＝1，得A一定可以对角化．
解析
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考研数学二

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