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设A是n阶矩阵,证明: (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβT; (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
设A是n阶矩阵,证明: (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβT; (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
admin
2019-07-28
65
问题
设A是n阶矩阵,证明:
(Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβ
T
;
(Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
选项
答案
(I)若r(A)=1,则A为非零矩阵且A的任意两行成比例,即 [*] 于是A=[*](b
1
,b
2
,…,b
n
). 令[*],显然α,β都不是零向量且A=αβ
T
; 反之,若A=αβ
T
,其中α,β都是n维非零列向量,则r(A)=r(αβ
T
)≤r(α)=1,又因为α,β为非零列向量,所以A为非零矩阵,从而r(A)≥1,于是r(A)=1. (Ⅱ)因为r(A)=1,所以存在非零列向量α,β,使得A=αβ
T
,显然tr(A)=(α,β),因为tr(A)≠0,所以(α,β)=k≠0. 令AX=λX,因为A
2
=kA,所以λ
2
X=kλX,或(λ
2
-kλ)X=0,注意到X≠0,所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k. 因为λ
1
+λ
2
+…+λ
n
=tr(A)=k,所以λ
1
=k,λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0,由r(0E-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化.
解析
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考研数学二
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