在区间[0，1]上函数f(x)=nx(1－x)n的最大值记为M(n)，则M(n)=____________．

admin2016-07-22 86

问题在区间[0，1]上函数f(x)=nx(1－x)ⁿ的最大值记为M(n)，则

M(n)=____________．

选项

答案e^－1

解析 f(x)=nx(1－x)ⁿ，f′(x)=n(1－x)ⁿ－n²x(1－x)^n－1=n(1－x)^n－1(1－x－nx)．
令f′(x)=0，得x=

，x₂=1．由于f(0)=f(1)=0，f(x)＞0(x∈(0，1))．
在区间(0，1)内求得唯一驻点x₁=

，所以f(x₁)为最大值．所以

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