设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)／1－ξ．

admin2018-05-21 37

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)／1－ξ．

选项

答案令φ(x)=(x－1)²f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x－1)f’(x)+(x－1)²f"(x)，所以2(ξ－1)f’(ξ)+(ξ－1)²f"(ξ)=0，整理得f"(ξ)=[*]

解析

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考研数学一

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